Класифікація диференційовних функцій є важливою складовою теорії наближення функцій. Напрямок класифікації функцій виник і почав активно розвиватися у 80-х роках минулого століття під впливом робіт Б. Надя, С. М. Нікольського, В. К. Дзядика, Н. П. Корнєйчука, С. А. Теляковського, О. І. Степанця та інших вчених. В основі класифікації функцій лежить поняття -похідних, частинними випадками яких є похідні в сенсі Вейля та Вейля-Надя. За допомогою поняття -похідної можна ранжувати весь спектр функцій з так, що кожна функція міститиметься в «своїй» множині. Ефективність такого виду класифікації обумовлена тим, що в її основу покладено властивості функцій, котрі, зокрема, дозволяють визначати швидкості збіжності рядів Фур’є, найкращі наближення поліномами, що породжуються лінійними методами підсумовування рядів Фур’є, тощо, що в свою чергу, дозволяє формулювати нові задачі теорії наближення функцій.
Дисципліна «Класифікація диференційовних функцій» належить до переліку нормативних навчальних дисциплін, що вивчається студентами спеціальності «математика» протягом двох семестрів, й відноситься до найбільш абстрактних та складних. На вивчення даного курсу відведено порівняно невелику кількість аудиторних годин. Тому успішне засвоєння основних теоретичних положень і методів сучасної теорії наближень періодичних функцій, а також формування вмінь застосувати їх при розв’язуванні класичних задач теорії апроксимацій, потребують інтенсивної самостійної роботи студентів.
Крім того, з огляду на критичну недостатність змістовних підручників та збірників вправ з класифікації диференційовних функцій, при проведенні навчальних занять виникає потреба в посібнику, який би повністю відповідав програмі курсу, містив доступно, прозоро і послідовно викладені основні теоретичні положення, факти й методи, а також зразки розв’язування вправ та підібрані завдання для самостійної роботи студентів. Автори посібника намагалися задовольнити ці вимоги.
Перший розділ посібника має підготовчий характер. Тут викладено деякі теоретичні положення, пов’язані з поняттям ряду та інтегралу Фур’є, а також наведено зразки розв’язування вправ. При цьому увага приділена таким поняттям, як розклад функцій в ряд Фур’є (парні, непарні, неперіодичні, з періодом ), комплексна форма ряду Фур’є, інтеграл Фур’є та різні форми його запису, перетворення Фур’є.
В другому розділі посібника наводяться означення та властивості класів функцій, традиційних для теорії наближень і які вводяться операціями диференціювання, тригонометричного спряження і згорток з підсумовуючими або узагальненими функціями. Тут також розглянуто нові класи диференційовних функцій, побудовані О.І. Степанцем і показано, що ці класи при фіксованих значеннях параметрів, що їх визначають, переходять в відомі класи Соболєва та Вейля-Надя.
Третій розділ посібника присвячено розгляду питання існування -похідних, основних понять та властивостей модулів піврозпаду випуклих функцій. Тут також наведено орієнтовні тестові завдання для самоконтролю.
Навчальний посібник можна рекомендувати студентам математичних спеціальностей університетів.
- Автор курсу: Харкевич Юрій